上海优宝教育国庆高考数学加餐学会用线面关系解决问题



讲到直线与平面、平面与平面之间的位置关系，我们总是能想到平行、相交等等各种情况。同时线与面之间的“错综复杂”关系，也让与立体几何相关很多问题的数学问题变得而更加复杂，如需要学生掌握好“转化”等数学思想，对空间想象能力、逻辑推理能力有一定的要求。
因此，跟直线与平面有关的题型一直是高考数学重点考查的对象之一，如要求考生会求解根据线与面之间的“互化”关系，借助添辅助线或面，找出符号语言与图形语言之间的关系，问题最终得到解决。
今天，我们就一起来讲讲高考考查的热点之一：直线与平面平行的判定与性质相关的知识内容和典型例题，希望能帮助到大家的数学学习。
直线与平面平行通常会以锥体、柱体为载体，以解答题的形式出现，在解决问题的过程中，让我们对线面平行关系进行论证，以便最终解决问题。在解题过程中，每一步知识的论证，都很能考查考生的空间想象能力、计算能力、推理论证能力,以及转化思想的应用。
那么，跟直线与平面平行相关的定理、性质有哪些呢？
直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行。

直线与平面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

典型例题分析1：
如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BD，BB1的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1CD；
(2)求证：EF⊥AD1.

∴EF∥B1D.
又∵B1D?平面A1B1CD.
EF?平面A1B1CD，
∴EF∥平面A1B1CD.
(2)∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1.
又A1D∩A1B1＝A1，
∴AD1⊥平面A1B1D.
∴AD1⊥B1D.
又由(1)知，EF∥B1D，
∴EF⊥AD1.
利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。
掌握好平面与平面平行相关的性质和定理。
平面与平面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

平面与平面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

常用的判断面面平行的方法：
1、利用面面平行的判定定理；
2、面面平行的传递性(α∥β，β∥γ?α∥γ)；
3、利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β?α∥β)。
大家一定要记住：在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；
而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”。
在解决问题过程中，很多时候，辅助线(面)是求证平行问题的关键，特别要注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用。
典型例题分析2：
如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．
(1)求证：E，B，F，D1四点共面；
(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.

解：(1)在正方形AA1B1B中，
∵AE＝B1G＝1，
∴BG＝A1E＝2，
∴BG綊A1E.
∴四边形A1GBE是平行四边形．
∴A1G∥BE.
又C1F綊B1G，
∴四边形C1FGB1是平行四边形．
∴FG綊C1B1綊D1A1.
∴四边形A1GFD1是平行四边形．
∴A1G綊D1F.
∴D1F綊EB.
故E，B，F，D1四点共面．
(2) ∵H是B1C1的中点，
∴B1H＝3/2.
又B1G＝1，
∴B1G/B1H=2/3.
又FC/BC=2/3，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，
∴△B1HG∽△CBF.
∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG.
∴HG∥FB.
∵GH?面FBED1，FB?面FBED1，
∴GH∥面BED1F.
由(1)知A1G∥BE，A1G?面FBED1，BE?面FBED1，
∴A1G∥面BED1F.
且HG∩A1G＝G，
∴平面A1GH∥平面BED1F.

对于数学问题，永远没有小事，错一个符号，都可能让整道题目错失分数。解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：
1、判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视。
2、结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断。
3、举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确。
典型例题例题分析3：
一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点．


(2) 连接DB，FN，由四边形ABCD为正方形，
且N为AC的中点知B，N，D三点共线，且AC⊥DN.
又∵FD⊥AD，FD⊥CD，
AD∩CD＝D，
∴FD⊥平面ABCD.
∵AC?平面ABCD，∴FD⊥AC.
又DN∩FD＝D，
∴AC⊥平面FDN.
又GN?平面FDN，
∴GN⊥AC.
(3)点P与点A重合时，GP∥平面FMC.
取FC的中点H，连接GH，GA，MH.
∵G是DF的中点，
∴GH=1/2CD.
又M是AB的中点，
∴AM=1/2CD.
∴GH∥AM且GH＝AM.
∴四边形GHMA是平行四边形．
∴GA∥MH.
∵MH?平面FMC，GA?平面FMC，
∴GA∥平面FMC，即当点P与点A重合时，GP∥平面FMC.
随着“新高考”改革不断深入，对高考数学也提出新的要求，如让数学更加能体现选拔人才的功能。按照这样的命题思路，高考数学就会出现一些构思精巧、新颖别致、极富思考性、挑战性等创新型试题。
这些创新试题的出现，不仅能很好考查考生知识掌握程度，更加能考查考生运用知识解决问题的能力，对人才选拔起到很好的区分度和选拔功能。